Belajar Matematika Dasar: Pendahuluan Geometri (seri 061)

GEOMETRI KELAS 10

       A.    Kedudukan Titik, Garis, dan Bidang dalam Ruang

1.      Kedudukan Titik terhadap Garis

Sebuah titik dapat terletak pada sebuah garis atau di luar sebuah garis.

Titik P terletak di luar garis l    

Titik P pada garis l

2.      Kedudukan Titik terhadap Bidang

Sebuah titik dapat terletak pada sebuah bidang atau berada di luar sebuah bidang.

3.      Kedudukan Garis terhadap Garis

Sebuah garis dapat sejajar dengan garis, berpotongan dengan garis, dan bersilangan dengan garis.

Garis f sejajar dengan garis g

Garis g berpotongan dengan garis m

Garis g bersilangan dengan garis f

a.       Dua garis sejajar terletak pada satu bidang dan tidak akan saling memotong.

b.      Dua garis berpotongan terletak pada satu bidang dan memiliki satu titik potong.

c.       Dua garis bersilangan tidak terletak pada satu bidang dan tidak saling memotong.

4.      Kedudukan Garis terhadap Bidang

Sebuah garis dapat berpotongan dengan sebuah bidang, dapat sejajar dengan sebuah bidang, atau terletak pada sebuah bidang.

Garis f pada bidang α

Garis f menembus bidang α

Garis f sejajar bidang α

5.      Kedudukan Bidang terhadap Bidang

Dua buah bidang dapat berpotongan, sejajar, atau berimpit.

Bidang α sejajar dengan bidang β

Bidang α berpotongan dengan bidang β

Bidang α berhimpit dengan bidang β

    B .     Bidang Tempat Gambar, Bidang Frontal, Garis Ortogonal, Sudut Surut, dan Perbandingan Proyeksi.

1.      Bidang tempat gambar adalah permukaan buku tulis atau papan yang dipakai untuk menggambar.

2.      Bidang frontal adalah bidang yang sejajar dengan bidang-bidang gambar. Garis yang terletak pada bidang frontal disebut garis frontal. Contoh: AB, CD, HG, EF.

3.      Garis ortogonal adalah garis yang tegak lurus pada bidang frontal. Contoh: AD, BC, FG, dan EH.

4.      Sudut surut (sudut menyisi) adalah besarnya lukisan sudut siku-siku yang dibentuk oleh garis frontal horizontal (ke arah kanan) dengan garis ortogonal (ke arah belakang). Contoh: sudut BAD.

5.      Perbandingan proyeksi adalah perbandingan antara ppanjang lukisan ruas garis ortogonal pada gambar dengan panjang ruas garis yang sesungguhnya.

       C.    Sudut

1.      Sudut antara Dua Garis Bersilangan

Jika garis f dan g bersilangan maka sudut antara keduanya dapat ditentukan sebagai berikut:

a.       Tetapkan sembarang titik E pada garis f.

b.      Buat garis h yang melalui E dan sejajar garis g.

c.       α adalah besar sudut yang dibentuk oleh garis f dan h.

2.      Sudut antara Garis dan Bidang

Sudut antara garis dan bidang adalah sudut antara garis tersebut dengan proyeksinya.

3.       Sudut antara Bidang dan Bidang

Sudut antara bidang α dan β

      D.    Jarak

Jarak antara dua bangun adalah panjang ruas garis penghubung kedua bangun itu yang terpendek dan bernilai positif, serta tegak lurus di kedua bangun tersebut.

1.      Jarak antara Titik dengan Garis

Jarak antara titik dengan garis adalah panjang ruas garis yang ditarik dari titik tersebut yang tegak lurus terhadap garis itu. Seperti jarak antara titik C dan D adalah panjang ruas garis CD yang tegak lurus terhadap garis f, yaitu g.

2.      Jarak antara Titik dengan Bidang

Jarak antara titik dengan bidang adalah jarak antara titik tersebut dengan bidang. Panjang ruas garis BB’ adalah jarak antara titik A terhadap bidang a (alpha) .

3.      Jarak antara Garis dengan Garis

Jarak antara dua garis sejajar atau bersilangan adalah panjang ruas garis yang tegak lurus terhadap kedua garis tersebut. Jarak antara garis g dan h adalah panjang ruas garis PR dengan titik P sembarang pada g dan R proyeksi titik P pada garis g.

4.      Jarak antara Garis dengan Bidang

Jarak antara garis dengan bidang yang saling sejajar adalah panjang ruas garis yang tegak lurus dengan garis dan bidang tersebut. Jarak antara garis k dengan bidang α adalah panjang ruas garis AB yang tegak lurus garis k dan bidang α, yaitu AB (garis l).

5.      Jarak antara Bidang dengan Bidang

Contoh Soal Beserta Pembahasan

  1.      Diketahui kubus ABCD.EFGH yang panjang rususknya 12 cm. Hitunglah besar sudut antara AG dan bidang ABCD.

Jawab:

   2.      Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 15 cm. Hitunglah sudut antara bidang ABGH dengan ABCD.

Jawab:

   3.      Diketahui  kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 12 cm. Hitunglah jarak titik H ke garis DF.

Jawab:

   4.      Diketahui rusuk kubus ABCD.EFGH adalah 10 cm. Jika S adalah titik potong EG dan FH, hitunglah jarak garis BF ke garis CS.

Jawab:

Garis BF dan CS tidak sebidang maka agar keduanya sebidang garis BF dipindahkan ke SP. Jadi, CS dan SP terletak pada bidang AEGC.

    5.      Balok PQRS.TUVW dengan PQ= 12 cm, QR= 8 cm, dan PT= 10 cm. Hitunglah jarak antara PR dengan bidang RSWV.

Jawab:

Jarak PR terhadap bidang RSWV adalah proyeksi PR terhadap bidang RSWV, yaitu QR. QR= 6 cm. Jadi, jarak antara PR dengan bidang RSWV adalah 8 cm.

 

    6.    Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk             Hitunglah jarak bidang ACH dan EGB.

Jawab:

Diketahui